Tout hyperplan de $\mathcal{M}_n(\K)$ contient une matrice inversible

L2 L3 MP MPIdifficulté 3/5Algèbre linéaire · Applications linéaires et rang · Calcul matricielpar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $\K = \R$ ou $\C$ et $n \geq 2$ .

Montrer que tout hyperplan de $\mathcal{M}_n(\K)$ contient une matrice inversible.
Pourquoi faut-il supposer $n \geq 2$ ?

Indications

Indication 1

Un hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle $\varphi$ . Si $\varphi(E_{ij}) \neq 0$ pour un couple $i \neq j$ , chercher une matrice inversible de la forme $I_n + \alpha E_{ij}$ .

Indication 2

Sinon, $\varphi$ est nulle sur toutes les $E_{ij}$ avec $i \neq j$ : chercher une matrice de permutation sans coefficient diagonal non nul, par exemple celle d'un cycle de longueur $n$ .

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Tout hyperplan de Mn(K)\mathcal{M}_n(\K)Mn​(K) contient une matrice inversible