Deux matrices réelles semblables sur $\C$ le sont sur $\R$

L2 L3 MP MPIdifficulté 3/5Algèbre linéaire · Calcul matriciel · Déterminantspar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$ . On suppose qu'il existe $P \in \mathrm{GL}_n(\C)$ telle que $B = P^{-1} A P$ .

Montrer qu'il existe $Q \in \mathrm{GL}_n(\R)$ telle que $B = Q^{-1} A Q$ .

Indications

Indication 1

Écrire $P = X + iY$ avec $X, Y \in \mathcal{M}_n(\R)$ : l'égalité $AP = PB$ donne $AX = XB$ et $AY = YB$ , donc $A(X + tY) = (X + tY)B$ pour tout réel $t$ .

Indication 2

$t \mapsto \det(X + tY)$ est un polynôme, non nul car il ne s'annule pas en $t = i$ : il a un nombre fini de racines, et l'on choisit un réel $t$ qui n'en est pas une.

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