Inégalité de Chernoff

Énoncé

Soit $X$ une variable aléatoire réelle et $\lambda > 0$ tel que $e^{\lambda X}$ admette une espérance finie.

Montrer que, pour tout réel $t$ , $P(X \geq t) \leq e^{-\lambda t}\, E\left(e^{\lambda X}\right)$ .

Indication 1

Par croissance de l'exponentielle, $\{X \geq t\} = \{e^{\lambda X} \geq e^{\lambda t}\}$ .

Indication 2

Appliquer l'inégalité de Markov à la variable aléatoire positive $e^{\lambda X}$ .

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