Premier lemme de Borel-Cantelli

L2 L3 M1 MP MPI PSIdifficulté 2/5Probabilités · Inégalités et théorèmes limitespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $(A_n)_{n \geq 1}$ une suite d'événements telle que la série $\displaystyle\sum_{n \geq 1} P(A_n)$ converge. On note $\displaystyle\limsup_{n} A_n = \bigcap_{n \geq 1} \bigcup_{k \geq n} A_k$ l'événement « une infinité des $A_n$ sont réalisés ».

Montrer que $P\left(\limsup_{n} A_n\right) = 0$ : presque sûrement, seul un nombre fini des événements $A_n$ est réalisé.

Indications

Indication 1

Pour tout $n$ , $\limsup_n A_n \subset \bigcup_{k \geq n} A_k$ , donc $P\left(\limsup_n A_n\right) \leq \displaystyle\sum_{k \geq n} P(A_k)$ par sous-additivité.

Indication 2

Ce majorant est le reste d'une série convergente.

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