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Somme de variables de Rademacher : une inégalité de concentration

L2L3MPMPIPSIdifficulté 3/5Probabilités · Inégalités et théorèmes limites · Variables aléatoires discrètespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

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Énoncé

Soit X1,…,XnX_1, \dots, X_n des variables aléatoires indépendantes telles que P(Xk=1)=P(Xk=−1)=12P(X_k = 1) = P(X_k = -1) = \dfrac{1}{2}, et Sn=X1+⋯+XnS_n = X_1 + \dots + X_n.

  1. Montrer que, pour tout réel tt, E(etSn)≤ent2/2E\left(e^{t S_n}\right) \leq e^{n t^2/2}.
  2. En déduire que, pour tout λ>0\lambda > 0, P(Sn≥nλ)≤e−nλ2/2P(S_n \geq n\lambda) \leq e^{-n\lambda^2/2}.

Indications

Indication 1

Pour 1, par indépendance, E(etSn)=(ch⁡t)nE\left(e^{t S_n}\right) = \left(\operatorname{ch} t\right)^n, et l'on admet (ou l'on montre) que ch⁡t≤et2/2\operatorname{ch} t \leq e^{t^2/2}.

Indication 2

Pour 2, appliquer l'inégalité de Markov à etSne^{t S_n} avec t>0t > 0, puis choisir t=λt = \lambda.

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