Inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace préhilbertien réel

Énoncé

Soit $E$ un espace préhilbertien réel, de produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ et de norme associée $\|\cdot\|$ .

Montrer que, pour tous $x, y \in E$ , $|\langle x, y \rangle| \leq \|x\|\,\|y\|$ .
Montrer qu'il y a égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Indication 1

Pour $y \neq 0$ , le trinôme $\lambda \mapsto \|x + \lambda y\|^2$ est positif sur $\R$ : son discriminant est négatif ou nul.

Indication 2

Pour l'égalité, le discriminant est nul : le trinôme a une racine $\lambda_0$ , et $x + \lambda_0 y = 0$ .

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