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Une fonction décroissante intégrable est négligeable devant $1/x$

L2 MP MPI PC PSI PTdifficulté 2/5Analyse · Intégrales généraliséespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $f : [0, +\infty[ \to \R$ continue par morceaux, positive et décroissante, telle que $\displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ converge.

Montrer que $f(x) = o\left(\dfrac{1}{x}\right)$ quand $x \to +\infty$ .

Indications

Indication 1

Par décroissance, $0 \leq \dfrac{x}{2} f(x) \leq \displaystyle\int_{x/2}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ pour tout $x > 0$ .

Indication 2

Le membre de droite tend vers $0$ : c'est une différence de deux restes d'une intégrale convergente.

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