Comparaison série-intégrale à l'aide de la dérivée

L2 L3 MP MPI PSIdifficulté 3/5Analyse · Intégrales généralisées · Séries numériquespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $f : [0, +\infty[ \to \C$ de classe $C^1$ , telle que $\displaystyle\int_0^{+\infty} |f'(t)|\,\mathrm{d}t$ converge. Montrer que la série $\displaystyle\sum_{n \geq 0} f(n)$ converge si et seulement si la suite $\left(\displaystyle\int_0^{n} f(t)\,\mathrm{d}t\right)_{n \in \N}$ converge.

Indications

Indication 1

Pour $n \geq 1$ , poser $u_n = \displaystyle\int_{n-1}^{n} f(t)\,\mathrm{d}t - f(n)$ et intégrer par parties $\displaystyle\int_{n-1}^{n} \big(f(t) - f(n)\big)\,\mathrm{d}t$ avec la primitive $t - (n - 1)$ de $1$ .

Indication 2

On obtient $|u_n| \leq \displaystyle\int_{n-1}^{n} |f'(t)|\,\mathrm{d}t$ : la série $\sum u_n$ converge absolument.

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