Transformation d'Abel : convergence de $\sum u_n v_n$

L2 L3 MP MPI PSIdifficulté 3/5Analyse · Séries numériquespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle décroissante de limite nulle, et $(v_n)_{n \in \N}$ une suite complexe dont les sommes partielles $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_k$ forment une suite bornée.

Montrer que la série $\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n v_n$ converge.

Indications

Indication 1

Avec $S_{-1} = 0$ , écrire $v_n = S_n - S_{n-1}$ et réorganiser : $\displaystyle\sum_{n=0}^{N} u_n v_n = u_N S_N + \sum_{n=0}^{N-1} (u_n - u_{n+1}) S_n$ .

Indication 2

Si $|S_n| \leq M$ , alors $|(u_n - u_{n+1}) S_n| \leq M (u_n - u_{n+1})$ , terme général d'une série télescopique convergente.

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