Intégrale convergente et continuité uniforme : la fonction tend vers 0

L2 L3 MP MPI PSIdifficulté 3/5Analyse · Intégrales généraliséespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $f : [0, +\infty[ \to \R$ uniformément continue, telle que $\displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ converge. Montrer que $f(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$ .

Indications

Indication 1

Raisonner par l'absurde : il existe $\varepsilon > 0$ et une suite $x_n \to +\infty$ telle que $|f(x_n)| \geq \varepsilon$ .

Indication 2

La continuité uniforme donne $\delta > 0$ tel que $f$ garde le signe de $f(x_n)$ et $|f| \geq \dfrac{\varepsilon}{2}$ sur $[x_n - \delta, x_n + \delta]$ : comparer $\displaystyle\int_{x_n - \delta}^{x_n + \delta} f$ au critère de Cauchy.

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