Moyenne d'une fonction de carré intégrable : $\frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x f \to 0$

Énoncé

Soit $f : [0, +\infty[ \to \C$ continue, telle que $\displaystyle\int_0^{+\infty} |f(t)|^2\,\mathrm{d}t$ converge. Montrer que

\frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^{x} f(t)\,\mathrm{d}t \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0.

Indication 1

Soit $\varepsilon > 0$ et $x_0$ tel que $\displaystyle\int_{x_0}^{+\infty} |f|^2 \leq \varepsilon^2$ . Couper l'intégrale en $x_0$ .

Indication 2

Sur $[x_0, x]$ , l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne $\displaystyle\int_{x_0}^{x} |f| \leq \sqrt{x - x_0}\,\sqrt{\int_{x_0}^{x} |f|^2}$ .

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