Lemme de la puce : les valeurs d'adhérence forment un intervalle

L2 L3 MPSI MP2I MP MPIdifficulté 4/5Analyse · Suites numériquespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle telle que $u_{n+1} - u_n \to 0$ .

Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$ est un intervalle de $\R$ (éventuellement vide ou réduit à un point).

Indications

Indication 1

Soit $a < b$ deux valeurs d'adhérence et $c \in \left]a, b\right[$ . Il s'agit de montrer que, pour tout $\eta > 0$ , la suite passe une infinité de fois dans $]c - \eta, c + \eta[$ .

Indication 2

À partir d'un certain rang, les pas $|u_{n+1} - u_n|$ sont inférieurs à $\eta$ : une suite qui passe près de $a$ puis près de $b$ ne peut pas « sauter » l'intervalle $]c - \eta, c + \eta[$ .

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