Lemme de Fekete pour une suite sous-additive

L2 L3 MP MPIdifficulté 4/5Analyse · Suites numériquespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $(a_n)_{n \geq 1}$ une suite réelle sous-additive : $a_{m+n} \leq a_m + a_n$ pour tous $m, n \geq 1$ .

Montrer que la suite $\left(\dfrac{a_n}{n}\right)_{n \geq 1}$ tend vers $\displaystyle\inf_{n \geq 1} \frac{a_n}{n}$ , cette borne inférieure étant un réel ou $-\infty$ .

Indications

Indication 1

Fixer $m \geq 1$ et écrire la division euclidienne $n = qm + r$ avec $0 \leq r < m$ : la sous-additivité donne $a_n \leq q\,a_m + a_r$ (avec la convention $a_0 = 0$ ).

Indication 2

En déduire $\displaystyle\limsup_{n \to +\infty} \frac{a_n}{n} \leq \frac{a_m}{m}$ pour tout $m$ .

Ta solution

Connecte-toi pour envoyer ta copie en photos : trois membres la reliront.

PartagerWhatsApp Facebook X Pinterest Email

Questions et remarques

Pour demander une précision, signaler une coquille ou discuter d'une méthode. Pas de solution ici : elle s'envoie en copie, plus haut.

Connecte-toi pour poser une question ou répondre.

Exercices proches

Lemme de la puce : les valeurs d'adhérence forment un intervalleAnalyseNiveaux : L2, L3, MPSI, MP2I, MP, MPI.4/5NouveauNouveau
Suite récurrente $u_{n+1} = \sin u_n$ : équivalentAnalyseNiveaux : L2, MPSI, MP2I, MP, MPI, PSI.3/5NouveauNouveau
Suite récurrente linéaire d'ordre 2 : $u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n$ AnalyseNiveaux : L1, BCPST1, ECG1, BL1.1/5NouveauNouveau
Population de truites : une suite arithmético-géométriqueAnalyseNiveaux : L1, BCPST1, ECG1, BL1.1/5NouveauNouveau
Vitesse de convergence de $(1 + 1/n)^n$ vers $e$ AnalyseNiveaux : L1, MPSI, MP2I, PCSI, PTSI, ECG1.2/5NouveauNouveau
Méthode de Héron pour approcher $\sqrt{2}$ AnalyseNiveaux : L1, MPSI, MP2I, PCSI, PTSI, ECG1.2/5NouveauNouveau

Licence CC BY-SA 4.0.