L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable

L2 L3 MP MPIdifficulté 2/5Algèbre · Ensembles et applications · Polynômespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Un nombre complexe est dit algébrique s'il est racine d'un polynôme non nul à coefficients rationnels. Montrer que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable.

Indications

Indication 1

$\Q_n[X]$ est en bijection avec $\Q^{n+1}$ , donc dénombrable ; $\Q[X]$ est une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables.

Indication 2

Chaque polynôme non nul n'a qu'un nombre fini de racines ; tout rationnel $q$ est racine de $X - q$ , donc l'ensemble est infini.

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